計算メモ | 自然基底におけるLaplacianの成分表示

より簡単な式展開ができないか試行錯誤している過程で、自然基底における発散の成分表示の$ \bulletに$ \bm e^i\cdot\bm\nabla\bulletを入れればいいことに気づいた

めんどいので、自然基底を$ \sf Eで固定し、共変成分を$ e_i、反変成分を$ e^iとする

$ \mathrm d\bm r=\bm e_i\mathrm d e^i

$ \sf Eのパラメタを$ e^iとする

$ \bm\nabla\bullet=\bm e^i\frac{\partial\bullet}{\partial e^i}

$ \bm\nabla^2\bullet=\bm e^i\frac{\partial}{\partial e^i}\cdot\bm e^j\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ = [\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial^2\bullet}{\partial e^i\partial e^j}+\bm e^i\cdot\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ = [\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial^2}{\partial e^i\partial e^j}+\bm e^i\cdot\bm\Gamma^{\sf EE}_{ik}[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{kj}\frac{\partial}{\partial e^j}+\frac{\partial[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}}{\partial e^i}\frac{\partial}{\partial e^j}

$ \because\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}=\bm\Gamma^{\sf EE}_{ik}[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{kj}+\bm e_k\frac{\partial[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{kj}}{\partial e^i}

Christoffel vectorの演算法則を間違えていたtakker.icon

共変パラメタ$ e_iが存在しない場合は、tensorの成分表示とおなじ座標変換則が成り立たないんだ

$ = \frac{\partial}{\partial e^i}\left([\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}\right)+\frac{\partial}{\partial e^k}\left(\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{kj}\frac{\partial}{\partial e^j}

$ \becauseChristoffel記号を計量行列の行列式の微分で表した

$ = \frac{\partial}{\partial e^i}\left([\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}\right)+\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}

$ = \frac{\partial}{\partial e^i}\left([\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}\right)+\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}

$ = \frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}\right)

$ \underline{\therefore\bm\nabla^2\bullet= \frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}\right)\quad}_\blacksquare

2024-02-10 15:30:54 もう少し楽にできないか？

$ \bm\nabla^2\bullet=\bm e^i\frac{\partial}{\partial e^i}\cdot\bm e^j\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ = [\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial^2\bullet}{\partial e^i\partial e^j}+\bm e^i\cdot\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ = [\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial^2\bullet}{\partial e^i\partial e^j}-\bm e^j\cdot\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}+\frac{\partial[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}}{\partial e^i}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ =\frac{\partial}{\partial e^i}\left([\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}\right)+\bm e^j\cdot\bm\nabla\left(\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ =\frac{\partial}{\partial e^i}\left([\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}\right)+[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ =\frac{\partial}{\partial e^i}\left([\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}\right)+\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

$ = \frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}[\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial}{\partial e^j}\right)

$ \bm\nabla^2\bullet=\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right) とも書けるか

こっちのほうがちょっとシンプル

ていうか、これ自然基底における発散の成分表示の$ \bulletに$ \bm e^i\cdot\bm\nabla\bulletを入れただけじゃん！！

$ \bm\nabla^2\bullet=\bm\nabla\cdot\bm\nabla\bullet

$ =\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right)

仕組みがわかると、非常に単純な計算だったことに気づく

自然基底における発散の成分表示と比較すると、$ \bm e^i\cdot\bullet が$ \bm e^i\cdot\bm e^j\frac{\partial\bullet}{\partial e^j} に置き換わっていることがわかる

$ [\bm I]^{\sf \bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}=\bm e^i\cdot\bm e^j\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}

#2024-02-22 11:03:37

#2024-02-10 17:17:16